微分学——1.2.1函数与极限
作者：admin 发布时间：October 16, 2013 分类：数学
1、函数的几种特性
（1）函数的有界性
函数\(f(x)\)在\(X\)上有界的充分必要条件是它在\(X\)上既有上界又有下界。
（2）函数的单调性
对于区间\(I\)上任意两点\(x_{1}\)和\(x_{2}\)，当\(x_{1}< x_{2}\)时，恒有\(f(x_1)< f(x_2)\)，则函数\(f(x)\)在区间\(I\)上单调增加；若当\(x_{1}< x_{2}\)时，恒有\(f(x_1)>f(x_2)\)，则函数\(f(x)\)在区间\(I\)上单调减少。
（3）函数的奇偶性
设函数\(f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称。若对于任一\(x\in D\)，\(f(x)=f(-x)\)恒成立，则\(f(x)\)为偶函数；若对于任一\(x\in D\)，\(f(x)=-f(-x)\)恒成立，则\(f(x)\)为奇函数。
偶函数的图形关于\(y\) 轴对称；奇函数的图形关于原点对称。
（4）函数的周期性
\(f(x+T)=f(x)\)，\(T\)称为\(f(x)\)的周期，通常说的周期是指最小正周期。
2、函数的极限
（1）函数极限的概念 无穷小与无穷大
当\(x\rightarrow x_0\)，\(f(x)\)无限趋近于常数\(A\)，称作\(f(x)\)当\(x\rightarrow x_0\)时的极限为\(A\)，记作\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A\)。
当\(x\rightarrow \infty\)，\(f(x)\)无限趋近于常数\(A\)，称作\(f(x)\)当\(x\rightarrow \infty\)时的极限为\(A\)，记作\(\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A\)
定理1（函数极限的唯一性）如果极限\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)\)存在，那么这个极限唯一。
定理2（函数极限的局部有界性）如果极限\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A\)，那么存在常数\(M>0\)和\(\delta >0\)，使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)时，有\(|f(x)|\leqslant M\)。
（2）极限运算法则
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小
定理3极限的四则运算法则
若\(limf(x)=A\)，\(limg(x)=B\)，则
\(lim\left [ f(x)\pm g(x)\right ]=A\pm B\)
\(lim\left [ f(x)\cdot g(x)\right ]=A\cdot B\)
\(lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)，当\(B\neq 0\)
3、极限存在准则和两个重要极限
（1）夹逼准则和极限\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\)
（2）单调有界准则和极限\(\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})=e\)
4、无穷小的比较
若\(lim\frac{\beta }{\alpha }=0\)，就称\(\beta \)是比\(\alpha\)高阶的无穷小，并称\(\alpha\)是比\(\beta \)低阶的无穷小；若\(lim\frac{\beta }{\alpha }=C\neq 0\)，就称\(\beta \)是与\(\alpha\)同阶的无穷小；若\(lim\frac{\beta }{\alpha }=1\)，就称称\(\beta \)是与\(\alpha\)等价的无穷小。
当\(x\rightarrow 0\)时，有以下常用的等价无穷小。
\(x\sim sinx\sim tanx\)，\(1-cosx\sim\frac{1}{2}x^{2}\)
\(ln(1+x)\sim x\)，\(e^{x}-1\sim x\)，\((1+x)^{\frac{1}{n}}-1\sim \frac{1}{n}x\)。
【例1.2-1】求\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-5x+3}\).
【例1.2-2】求\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-9}\).
【例1.2-3】求\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x-3}{x^{2}-5x+4}\).
【例1.2-4】求\(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^{3}+4x^{2}+2}{7x^{3}+5x^{2}-3}\).
【例1.2-5】求\(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{sinx}{x}\).
【例1.2-6】求\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}}\).
【例1.2-7】求\(\lim_{x\rightarrow \infty }(1-\frac{1}{x})\).
【例1.2-8】求\(\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{1+x}{x})^{2x}\).
【例1.2-9】求\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{sin5x}\).
【例1.2-10】求\(\lim_{n\rightarrow 0}\frac{(1+x^{2})^{\frac{1}{3}}-1}{cosx-1}\).
【例1.2-11】\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}\)等于（ ）.
（A）2 （B）0 （C）\(\infty \) （D）不存在且不是\(\infty \)
【例1.2-12】设\(f(x)=2^{x}+3^{x}-2\)，则当\(x\rightarrow 0\)时，有（ ）.
（A）\(f(x)\)与\(x\)是等价无穷小 （B）\(f(x)\)与\(x\)同阶但非等价无穷小
（B）\(f(x)\)是比\(x\)高阶的无穷小 （D）\(f(x)\)是比\(x\)低阶的无穷小
【例1.2-13】当\(x\rightarrow 0\)时，\(tanx-sinx\)是\(x^{3}\)的（）.
（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小
（B）同阶但非等价无穷小 （D）等价无穷小
【例1.2-14】求\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+cosx)^{2secx}\).
【例1.2-15】求\(\lim_{n\rightarrow \infty }n(e^{\frac{1}{2n}}-1)\).
【例1.2-16】 判定\(y=ln(x+\sqrt{x^2+1})\)奇偶性.
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