空间解析几何——1.1.4柱面 旋转曲面 二次曲面
作者：admin 发布时间：October 15, 2013 分类：数学
1、柱面
平行于定直线并沿定曲线\(C\)移动的直线\(L\)形成的轨迹叫做柱面，定曲线\(C\)叫做柱面的准线，动直线\(L\)叫做柱面的母线。
在空间直角坐标系中，如果曲面方程\(F(x,y,z)=0\)中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，\(x^2=ay\)依次表示母线平行于\(z\)轴的椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
2、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
已知旋转曲面的母线\(C\)的方程为
\[\begin{cases}f(y,z)=0\\x=0 \end{cases}\]
旋转轴为\(z\)，只要将母线的方程\(f(y,z)=0\)中的\(y\)换成\(\pm\sqrt{x^2+y^2}\)，便得曲线\(C\)绕\(z\)轴旋转所成的旋转曲面的方程，即
\[f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\]
3、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。
球面\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\)
圆锥面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=z^2\)
椭圆锥面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\)，\(a\neq b\)
椭球面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{y^2}{c^2}=1\)
椭圆抛物面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\)，\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-z\)
双曲抛物面\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z\)
单叶双曲面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
双叶双曲面\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
【例1.1-16】方程\(z^2-x^2-y^2=0\)所表示的曲面是（ ）
（A）单叶双曲面
（B）双叶双曲面
（C）旋转双曲面
（D）圆锥面
【例1.1-17】下列结论中，错误的是（ ）
（A）\(z+2x^2+y^2=0\)表示椭圆抛物面
（B）\(x^2+2y^2=1+3z^2\)表示双叶双曲面
（C）\(x^2+y^2-(z-1)^2=0\)表示圆锥面
（D）\(y^2=5x\)表示抛物柱面
【例1.1-18】将双曲线\(C\)：\(\begin{cases} 4x^2-9y^2=36\\z=0\end{cases}\)绕\(x\)轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是？
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