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空间解析几何——1.1.2平面

作者：admin 发布时间：October 14, 2013 分类：数学

1、平面的方程
点法式方程：\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

一般方程：\(Ax+By+Cz+D=0\)

截距式方程：\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

2、两平面的夹角
两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面\(\Pi_1:Ax_1+By_1+Cz_1+D_1=0\)和平面\(\Pi_2:Ax_2+By_2+Cz_2+D_2=0\)，则\(\Pi_1\)和\(\Pi_2\)的夹角\(\theta\)由下式确定：
\[\cos\theta=\frac{\left | \vec{n_1} \right |\cdot\left | \vec{n_2} \right |}{\left | \vec{n_1} \right |\cdot\left | \vec{n_2} \right |}=\frac{\left | A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\]

互相垂直相当于\(A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\)，

平行相当于\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\)。

3、点到平面的距离
\[d=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

【例1.1-7】在空间直角坐标系中，方程x=2表示（ ）。
(A)\(x\)轴上的点\((2,0,0)\)
(B)\(xOy\)平面上的直线\(x=2\)
(C)过点\((2,0,0)\)且平行于\(yOz\)的平面
(D)过点\((2,0,0)\)的任意平面

【例1.1-8】平行于x轴且经过点和点的平面方程是（ ）。
(A)\(x-4y+2z=0\)
(B)\(3x+2z-8=0\)
(C)\(3y-z-2=0\)
(D)\(3y+z-4=0\)

【例1.1-9】求过三点\(M_1(2,-1,4)\)，\(M_2(-1,3,2)\)，\(M_3(0,2,3)\)的平面的方程。

【例1.1-10】求两平面\(x-y+2z-6=0\)和\(2x+y+z=0\)的夹角。