空间解析几何——1.1.1向量代数
作者：admin 发布时间：October 10, 2013 分类：数学
1、向量及其线性运算
定义：既有大小又有方向的量。如位移、速度、力等。
大小：向量\(\vec{a}\)的大小称为向量\(\vec{a}\)的模，记作\(\left|\vec{a}\right|\)。
线性运算：向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
定理：设向量\(\vec{a}\neq 0\)，那么，向量\(\vec{b}\)与向量平行的充分必要条件是：存在唯一的实数\(\lambda\) ，使\(\vec{b}\)=\(\lambda\)\(\vec{a}\)。
2、向量的坐标
设有空间直角坐标系\(O-xyz\)，\(\vec{i}\)、\(\vec{j}\)、\(\vec{k}\)分别表示沿\(x、y、z\)轴正向的单位向量，\(\vec{a}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\)是以\(M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\)为起点，\(M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})\)为终点的向量，则向量\(\vec{a}\)可表示为
\[\vec{a}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}= (x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_{1})\vec{k}，\]
或 \(\vec{a}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\)，
其中\(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}\)称为向量\(\vec{a}\)的坐标。
非零向量\(\vec{a}\)与三条坐标轴正向的夹角\(\alpha、\beta、\gamma\)称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间有如下关系：
\[a_{x}=\left | \vec{a} \right |cos\alpha,a_{y}=\left | \vec{a} \right |cos\beta,a_{z}=\left | \vec{a} \right |cos\gamma,\]
其中\(cos\alpha、cos\beta、cos\gamma\)称为向量\(\vec{a}\)的方向余弦。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：
\[\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}，\]
\[cos\alpha=\frac{a_{x}}{\sqrt{a^2_{x}+a^2_{y}+a^2_{z}}},cos\beta=\frac{a_{y}}{\sqrt{a^2_{x}+a^2_{y}+a^2_{z}}},cos\gamma=\frac{a_{z}}{\sqrt{a^2_{x}+a^2_{y}+a^2_{z}}}。\]
由上式可得
\[cos\alpha^2+cos\beta^2+cos\gamma^2=1。\]
以向量\(\vec{a}\)的方向余弦为坐标的向量\((cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)\)是与向量\(\vec{a}\)同方向的单位向量。
3、数量积 向量积 混合积
数量积：设向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的夹角为\(\theta(0\leqslant \theta\leqslant \pi)\)，其数量积为一个数量，记作\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |cos\theta \)。
向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)垂直的充分必要条件是\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \)。
向量积：向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的向量积为一个向量向量\(\vec{c}\)，记作\(\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\)，\(\vec{c}\)的模
\[\left|\vec{c}\right|=\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | sin\theta ，\]
\(\vec{c}\)的方向垂直于\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)所决定的平面，\(\vec{c}\)的指向按右手法则确定。
设向量\(\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)\)，则
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z,\]
\[\vec{a}\times\vec{b}=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x),\]
或
\[\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{j} \\a_x &a_y&a_z \\b_x &b_y &b_z \\\end{array}\right|\]
向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)平行的充分必要条件是\(\vec{a}\times\vec{b}=0 \)。
混合积：三个向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)和\(\vec{c}\)的混合积是一个数量，这个数量通过先作向量积\(\vec{a}\times\vec{b}，再做数量积(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\)得到，混合积记作\([\vec{a}\quad\vec{b}\quad\vec{c}]\)，即
\[[\vec{a}\quad\vec{b}\quad\vec{c}]=\left|\begin{array}{ccc}a_x &a_y&a_z \\b_x &b_y &b_z \\c_x &c_y &c_z\\\end{array}\right|\]
\([\vec{a}\quad\vec{b}\quad\vec{c}]\)是这样一个数，它的绝对值表示以向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)为棱的平行面六面体的体积，它的符号由向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)组成右手系还是左手系来确定，前者为正，后者为负。
【例1.1-1】设已知两点\(M_1(2,2,\sqrt2)\)和\(M_2(1,3,0)\)，计算向量\(\overrightarrow {M_1M_2}\)的模、方向余弦和方向角。
【例1.1-2】设质量为100kg的物体从点\(M_1(3,1,8)\)沿直线移动到点\(M_2(1,4,2)\)。计算重力做功（长度单位为m，重力方向为\(z\)轴负方向）。
【例1.1-3】设向量\(\vec{a}=(-2,4,4)\)，\(\vec{b}=(0,6,3)\)，则向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的夹角为多少？
【例1.1-4】设均为向量，下列命题中错误的是（ ）。
（A）\(\vec{a}// \vec{b}\)充分必要条件是存在实数\(\lambda\)，使\(\vec{b}=\lambda\vec{a}\)
（B）\(\vec{a}// \vec{b}\)充分必要条件是\(\vec{a}\times\vec{b}=0 \)
（C）\(\vec{a}\perp \vec{b}\)充分必要条件是\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
（D）\(\vec{a}\perp \vec{b}\)充分必要条件是\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\left |\vec{a} \right |^2-\left |\vec{b} \right |^2\)
【例1.1-5】已知三角形ABC的顶点是\(A(1,2,3)\)、\(B(3,4,5)\)、\(C(2,4,7)\)。求三角形ABC的面积。
【例1.1-6】已知不在一平面上的四点：\(A(x_1,y_1,z_1)\)、\(B(x_2,y_2,z_2)\)、\(C(x_3,y_3,z_3)\)、\(D(x_4,y_4,z_4)\)，求四面体ABCD的体积。
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